等腰三角形数学作文

等腰三角形数学作文

什么样的等腰三角形满足条件：画一条直线将其分为两个等腰三角形？首先，这条直线必须经过顶点。否则，得到的两个图形其中一个是三角形，另一个是四边形。然后经过等腰三角形的顶点，可以将等腰三角形分成两个等腰三角形。有两种情况。继续： ⑴过顶角顶点的直线： 图1：已知AB=AC，①AD=BD，AD=CD，则ΔABD≌ΔACD(SSS)，∴∠ADB=∠ADC，且∠ ADC+∠ADB=180°，∴∠ADB=90°，AD+BD，∴ΔABD为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠BAC=90°，即ΔABC为等腰直角三角形。 ②AD=BD，AD=AC，∵∠ADC=∠C>∠B，与∠B=∠C矛盾。 ③AD=BD，AC=CD，∵∠CDA=∠CAD=∠DAB+∠DBA=2∠B=2∠C，∴在ΔACD中，5∠C=180°，可得∠C=36°，∴∠BAC =108°。由于其他情况的对称性，上面已经考虑了所有的可能性。 ⑵ 通过底角顶点的直线：如图2所示，AB=AC。首先，AB>AD。 ΔABD中仅考虑AD=BD。其次，∠DBC<∠ABC=∠C，∴BD>CD不需要考虑BD=CD。有两种情况：①AD=BD，BD=BC，∠BDC为ΔABD的外角，∴∠BDC=∠DAB+∠DBA=2∠A，∴∠C=∠BDC=2∠A，∴∠ABC= 2 ∠A，在ΔABC中：5∠A=180°，∠A=36°。 ②AD=BD，BC=CD，则∠BDC=2∠A，∴∠DBC=∠BDC=2∠A，∠C=180°-4∠A，在ΔBC中，∠B=∠C=180°-4 ∠A，根据三角形内角和为180°，则方程为：360°-8∠A+∠A=180°, 7∠A=180°, ∠A=(180/7 )°，通过上面的分析得出，一条直线被分成两个等腰三角形的情况有四种。它们的顶角为：90°、108°、36°和(180/7)°。从探究过程中汲取的教训：科学探索永无止境。只要我们细心观察，细心推理，我们就可能获得未知的自然规律。

原创数学论文，请选为满意答案。

等腰三角形上的费马点纸

费马点
定义
在多边形中，到各顶点距离之和最小的点称为多边形的费马点。
在平面三角形中：
(1)。对于三个内角均小于120°的三角形，分别以AB、BC、CA为边。向三角形外侧作等边三角形ABC1、ACB1、BCA1，然后连接AA1、BB1、CC1，则三条直线交于点P，则P点即为所求的费马点。

(2)。如果三角形的内角大于或等于120度，则求钝角的顶点。
(3) 当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合
(1) 等边三角形中，BP=PC=PA，BP、PC、PA在等边三角形上分别是三角形的三条边。三角形的高和中线以及三角形的角平分线。它是内切圆和外接圆的圆心。 △BPC≌△CPA≌△PBA。
(2) 当BC=BA且CA≠AB时，BP为三角形CA的高、中线以及三角形的角平分线。
证明
(1)费马点对边夹角为120度。在
△CC1B和△AA1B中，BC=BA1，BA=BC1，∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1，
△CC1B和△AA1B是全等三角形，可得∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，可得∠PCB+∠CBP=60度，故∠CPB=120度
同理，∠APB =120度，∠APC=120 度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC 以B 点为旋转中心旋转60 度与△BDA1 重合，并连接PD，则△PDB 为等边三角形，所以∠BPD=60度
和∠BPA=120度，所以A、P、D三点在同一条直线上，
和∠CPB=∠A1DB=120度，∠ PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1这四个点在同一条直线上，所以PA+PB+PC=AA1。
(3) PA+PB+PC 最短
选取△ABC 中任意一点 M（与 P 点不重合），连接 AM、BM、CM，将 △BMC 以 B 点旋转 60 度为旋转中心与△BGA1重合，连接AM、GM、A1G（同上），则AA1平面四边形的费马点
平面四边形中的费马点比三角形中的费马点更简单、更容易研究。
(1) 在凸四边形ABCD中，费马点是两条对角线AC和BD的交点P。
(2) 在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D(P)。

费马曾经提出过一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面上找到一点，使该点到三角形三个顶点的距离之和最小。即在ABC内找到一个点P，使PA+PB+PC的值最小。人们称这个点为“费马点”。
今天我们探索费马点。首先，三角形分为两种情况：
①当三角形内角大于等于120度时，费马点就是内角的顶点。
我们来验证一下这个结论：对于三角形中任意点P，将BA延伸到C'，使得AC=AC'，令∠C'AP'=∠CAP，并令AP'=AP，PC'=PC，即以A为中心旋转三角形APC

则△APC≌△AP'C'（旋转不变性）
∵∠BAC≥120°（已知）
∴∠PAP'=180°- ∠BAP-∠C'AP'（平角的意义）=180°-∠BAP-∠CAP（等价替换）=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'（已知即 AP'=AP), AP≥PP' (∠PAP'＜∠AP P')
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+ P'C'>BC'（两边之和较大比第三边）=AB+AC（已知AC=AC'）
所以A是费马点。这是之前的结论。
我们来讨论第二种情况：
②如果三个内角都在120度以内，那么费马点就是费马点与三角形三个顶点之间的夹角为120度的点。 。
考虑△ABC中的一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°。分别画垂线PA、PB、PC，交于三点D、E、F（如图），然后画A点P'与点P不重合，连接P'A、P' B、P'C，经过 P'，使 P'H 垂直于 H。

∵∠APB=120°，∴∠PAB+∠PBA=180°-120°=60°
和∠PAF=∠PBF=90°, ∴∠F=180°-(90° +90°-60°)
同理可得：∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF是等边三角形，假设边长为d，面积为S。
则 S= 1/2 d (PA+PB+PC)
∵P'H ≤ P'A
∴ 1/2×d×P'H×2S ≤1/2 ×d × P'A×2S
和 ∵1/2×d×P'H=△EP'F ∴ 2S△EP'F≤ d ×P'A×S
类似地，我们有： 2S△DP' F ≤d ×P'B×S，2S△EP'D≤d ×P'C×S
相加，可得：2S(△EP'F+△DP'F+△EP'D)≤ d ×S ( P'A+P'B+P'C)
且∵△EP'F+△DP'F+△EP'D=△EDF
2S×S ≤ d ×S (P'A+P' B +P'C) 两边除以 S，得：2S ≤ d (P'A+P'B+P'C)
将 S= 1/2 ×d (PA+PB+PC) 代入由上式可得：
PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C，当且仅当P与P'重合时才得到等号。
所以P就是费马点，这与上面的结论一致。
经过上面的推导，我们就得到了求三角形费马点的方法：
当三角形的内角大于等于120度时，费马点就是内角的顶点角度;如果三个内角都在120度以内，那么费马点就是费马点与三角形三个顶点之间的夹角为120度的点。

皮埃尔·德·费马（1601-1665）是法国数学家和物理学家。费马一生从未接受过任何专门的数学教育，数学研究也只不过是一种爱好。然而，在 17 世纪的法国，没有数学家能与他匹敌。他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人； 17世纪数论的唯一继承人。数学大师费马堪称17世纪法国最伟大的数学家。尤其是他提出的费马大定理，困惑了全世界智者358年

紧急！！高中数学小论文（300字）

正弦和余弦定理的几个推论的探索与应用
（一）学习目的
正弦定理和余弦定理是高中数学中重要的三角公式，它们的适用范围很广应用程序。但教科书上对它们的研究还比较单一。在学习方面，为了开阔视野，更好地体会数学的灵活性和多变性，我们必须结合三角变换的知识进行总结、探索和延伸。因此，我们探索了它的一些变体和应用。
(2) 探索过程、应用与结论
(1) 正弦余弦定理
1. 正弦定理：a/ sinA＝b/ sinB＝c/ sinC =2R
2. 余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCosA CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
b^2=a^2+c^2-2acCosB CosB=( a ^2+c^2-b^2)/2ac
c^2=a^2+b^2-2abCosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

（2）正余弦定理推论
假设三角形ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则
推论1. acosA+ bcosB = ccos(A-B)≤ C ． ． ． ． ． ． ①
bcosB+ccosC = acos(B-C) ≤ a。 ． ． ． ． ． ②
acosA+ccosC = bcos(A-C) ≤b． ． ． ． ． ． ③
证明：根据正弦定理，
acosA+bcosB
=2RsinAcosA+2RsinBcosB
=R(2sinAcosA+2sinBcosB)
=R (sin2 A+sin2B)
=R { sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]}
=R[sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B) sin (A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos
(A+B)sin(A-B)]
=2Rsin(A+B) cos(A-B)
=2Rsin( � -C) cos(A-B)
=2RsinC cos(A-B)
=Ccos(A-B)
且 A, B∈(0,�),-1≤cos(A-B) ≤1
∴ccos(A-B)≤C，当且仅当A=B时取等号。
同理，从三角形的三条边取三边角的对称性可用公式②③证明。
应用：在⊿ABC 中，证明：cosAcosBcosC ≤1/8
证明：①当⊿ABC 为钝角三角形或直角三角形时，cosA、cosB、cosC其中必定有1小于等于0，所以结论成立。
② 若⊿ABC 是锐角三角形，由推论（1）和均值不等式可得
a≥bcosB+ccosC≥2 乘以根bcosBccosC>0。 ． ． ． ． ． ①
b≥acosA+ccosC≥2 倍acosAccosC 的根＞0． ． ． ． ． ． ②
C≥acosA+bcosB≥2 倍根acosAbcosB＞0。 ． ． ． ． ． ？ 各边对角线差的余弦乘积小于或等于第三条边
②三角形三个角的余弦乘积始终小于或等于 1/8。
③观察公式，可得
a。如果知道三角形的两个角和对应的两条边，就可以知道第三条边的取值范围或最小值。
b.如果知道三角形的两个角，就可以知道三边之间的数量关系。

推论2、c/(a+b)=sin(C/2)/cos[(A-B)/2] ≥sin(C/2) ．．．．．①
b/(a +c)=sin(B/2)/cos[(A-C)/2] ≥sin(B/2) ．．．．．②
a/(b+c)=sin(A/2) /cos[(B-C)/2] ≥sin(A/2) ．．．．．③
证明：由正弦定理，
c/(a+b)=（2RsinC）/[2R( sinA+sinB)]
=sin(�-c)/(sinA+sinB)
=sin(A+B)/ (sinA+sinB)
=sin[(A+B)/2 +(A+B)/2]/{sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+
sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}
={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{ sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+sin[( A-B)/2]cos[(A+B)/2]+sin[(A+B)/2]cos
[(A-B)/2]—sin[(A-B)/2]cos[(A +B)/2]}
={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{2sin[(A+B)/2]cos[(A- B)/2]}
=cos[(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2]
=sin[�/2—(A+B)/2]/ cos[ (A-B)/2]
=sin(C/2)/cos[(A-B)/2]
又A、B∈（0，�） ∴ 0＜cos[(A-B)/2] ≤ 1
∴sin(C/2)/ cos[(A-B)/2]≥sin(C/2),取等号当且仅当A=B。
同理可证明式②③。
应用：已知在⊿ABC中，设a+c=2b，A-C= 60度，求sinB。
解：根据问题及推论2，
b/(a+c)=b/2b=1/2=sin(B/2)/[cos(A-C) /2] =sin(B/2)/cos(�/6)
∴sin(B/2)=（平方根 3）/4
∴cos(B/2)=平方根 (1 -sin( B/2)^2)= (平方根 13)/4
∴sinB=2 sin(B/2) cos(B/2)= (平方根 39)/2
结论： ①在三角形 In 中，任意一条边与另外两条边之和的比值等于该边的
。半对角的正弦是另外两条边的对角之间的半角差的余弦。这是从模型
导出的公式
组之一 ② 应用：
a.解出斜三角形的未知元素后，可以用它来检查计算。
b.如果已知三边，则可以找到角度的最大值。

推论3. a≥2(root bC)sin(A/2)． ． ． ． ． ． ①
b≥2(根 aC)sin(B/2) ． ． ． ． ． ． ②
c≥2(根ab)sin(C/2) ． ． ． ． ． ． ③
证明：∵(b-c)^2≥0 ∴b^2+c^2≥2bc
根据余弦定理，a^2= b^2+c^2-2bccosA≥2bc-2bccosA
=2bc(1-cosA)=4bcsin(A/2)^2
∴a≥2(root bC)sin(A/2)，同样的原理可以证明公式②③。
应用：在⊿ABC中，已知A=�/3，a=10，求bC的最大值。
解：根据问题及推论3，10≥2(root bC)sin(60度/2)
∴(root bC)≤10 ∴bC≤100
因此，bC的最大值值为100。
结论：①三角形中，任意一条边都大于或等于另外两条边的平方根的两倍与
该边的半对角正弦值的乘积。
②应用：
给定两条边和一个角度，可以找到与该角度相对的一侧的值范围或最小值。
b.给定一侧及其对角，您可以找到其他两侧的乘积的最大值。
C. 三个已知边所能找到的角度的最大值。

推论4. (a^2- b^2)/ c^2= (sinA^2-sinB^2)/ sinC^2……①
(b^2- c^2)/ a ^2= (sinB^2-sinC^2)/ sinA^2……②
(a^2- c^2)/ b^2= (sinA^2-sinC^2)/ sinB^2… …③
证明：根据正弦定理，
(a^2- b^2)/ c^2=[4R^2 (sinA^2-sinB^2)]/( 4R^2* sinC ^2)
=(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2
同理可证明式②③。
应用：在 ⊿ABC 中，A 的对边、B、C分别为a、b、c，证明：
(a^2- b^2)/c^2=sin (A-B)/sinC
证明：由命题和推论4，可见
(a^ 2- b^2)/ c^2
=(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2
= (sinA+sinB) (sinA- sinB)/sinC^2
={ sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}{sin[(A +B)/2+
(A-B )/2]—sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}/{sinCsin[�—（A+B)]}
= {2sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]}{2cos[(A+B)/2]sin[(A-
B)/2]}/[sinCsin(A +B)]
={2sin[ (A+B)/2] cos[(A+B)/2]}{2sin[(A—B)/2] cos[(A-
B) )/2]}/[sinCsin(A+ B)]
=[sin(A+B)sin(A—B)]/ [sin(A+B) sinC]
=sin(A—B)/ sinC
结论：①在三角形中，任意两条边的平方差与第三边的平方之比等于
两条边与第三条对角线对角线的正弦平方比

推论5. sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA……①
sinB^2= sinA^2 +sinC^2-2sinAsinCcosB……②
sinC^2= sinB^2+sinA^2-2sinBsinAcosC...③
证明：由正弦定理和余弦定理，
(2RsinA)^ 2= (2RsinB)^2+ (2RsinC)^2-2 (2RsinA
(2RsinB) cosA
化简得 sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA
同理可得用于证明公式②③。
应用：求(sin10度)^2+(sin50度)^2+sin10度和sin50度的值。
解决方案：构造⊿ABC使得A=10度，B=50度，C=120度，应用推论5得到
原公式 = (sin10度)^2+(sin50度)^2-(-1/2)×2sin10度sin50
度
= (sin10 度)^2+(sin50 度)^2-2sin10 度 sin50 度 cos120 度
= (sin120 度)^2
=3/4
结论：① In一个三角形，任意角的正弦平方等于另外两个角
的正弦平方和负2倍两个角的正弦与该角的余弦的乘积。
②应用：
如果已知任意两个角度的角度或正弦，就可以求出另一个角度的余弦和角度。
b.如果公式(sinA)^2+(sinB)^2+sinAsinB满足A+B=�/3，那么
的值总是3/4。
C. 如果有一个形式 例如，sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA 的公式，其值为
sinA^2.

推论 6. a=bcosC+ccosB…① b=acosC+ccosA…②
c=acosB+bcosA…③
证明：根据余弦定理，
b^2+c^2=(c^2+a^2-2accosB)+(a^2+b^ 2- 2abcosC)
化简得a=bcosC+ccosB
同理可证明式②③成立。
应用：已知�、�ε (0, �/2)、3 (sin� )^2+2(sin�)^2=1，
3sin2�-2Sin2�=0 ，证明：�+2�=90度。
证明：∵3(sin�)^2+2 (sin�)^2=1
∴3（1-cos2�）/2+2（ 1- cos2�）/2=1
∴3cos2�+2 cos2�=3
∴2cos2�=3（1- cos2�）＞0
∴3 cos2�=3-2 cos2� ＞0 ∴2�, 2�ε（0,�/2）
且 3sin2�-2Sin2�= 0 ∴3/Sin2�=2/sin2�
构造 ⊿ABC，令 A=2�， B=2�，BC=2，则 AC=3
由推论 6，AB=ACcos2�+ BCcos2�
= 3cos2�+2cos2�=3
∴AB=AC ∴⊿ABC 是等腰三角形。
∴C=B=2�
在 ⊿ABC 中，A+B +C=2�+2�+2�=180 度
∴�+2�=90 度
结论：①推论6是著名的投影定理
②应用：可以处理边、角、弦的转换问题。

我急找初中数学作文

中学数学教学随笔
“复习课是最难上的。”这是很多数学老师经常表达的感叹。复习课不像新讲座那么“新鲜”，也不像实践课那么“成功”。最重要的是，到目前为止，复习课程还没有像新课程那样有一个基本认可的课堂教学结构（模式）。因为有了这样的课堂教学结构，就有了可操作的教学方案。众所周知，结构的好坏决定了功能的大小。有序的课堂教学结构就像一架梯子，使教师能够自信地带领学生向上楼梯，更好更快地掌握知识。经过实验研究，我们目前采用以下复习课结构。
1。呈现复习目标（以下简称突出）（约2分钟）
上课时，老师直接呈现复习主题，然后将预先写在小黑板上的复习目标挂起来。提出的审查目标应注意以下三点：
1。目标应该是全面的。所谓“全面”，就是按照数学大纲的要求，在知识、能力和思想品德三个方面提出有针对性的复习要求。我们不能偏袒另一方，甚至只提出知识方面的审查要求，而忽视能力和思想道德品质。在一边。例如，在统计表格、图表的复习中，除了应掌握的知识外，还必须培养学生的观察能力和适应能力。同时要注重培养学生细致认真的态度、追求美丽、整洁的美感和习惯等。
2。目标必须准确。也就是说，必须具有很强的针对性。一是目标中对知识、能力、思想品德的要求要准确，二是三者不能混为一谈。如统计表格、图表的审核。复习的目的是强化和区分所学的统计表格和图表，防止相关或相似知识的交叉。经常困扰学生的一个问题是：如何确定单位长度？ （常见）为什么折线图中水平标题之间的间隔要根据实际年份留空？ （个性）学生最容易忘记的是：画完图后忘记写数据，或者把标题和图分开等。复习课设定复习目标时，要注意与实际情况相结合。这些新讲座后发现的问题有助于解决学生的实际问题。
3。目标应该具体。不要提一些抽象或模糊的口号，例如“通过复习培养学生良好的学习习惯”。乍一看，它们听起来很具体，但仔细一看，却又太笼统了。目前还不清楚学生会养成什么习惯。事实上，一堂课只能根据实际教学内容培养学生某一方面的素质。过多的教导会适得其反。
教学目标不仅是向学生提出的，也是向教师提出的。复习课上，教师要紧紧围绕目标组织教学。就像写文章不能“跑题”一样，复习课也不能“偏离目标”，要有针对性。
2.回忆（约8分钟）
回忆是一个需要学生不断提取和再现所学旧知识的过程。这是学生独立联想的有利机会，应尽可能让他们独立完成。如果年级较低，可以让他们先看书，然后回忆并说出来；中高年级还可以要求学生提前一天预习，这样可以节省一些上课时间。当然，回忆的过程也离不开老师的启发和帮助。我们经常使用以下策略：
1。独立写作。
2。同桌互相交谈。
3。灵感带来结果。
例如，如果让学生用“组词”或“造句”来回忆学过哪些“数字”？什么“形状”？什么“风格”？什么“数量”？也算是一种比较好的“联想”记忆方法。
在回忆过程中，一般只要求学生写或说“什么”，而不问“为什么”或“如何”，从而将旧知识一次性“拉出来”，提高回忆效率。因此，在学生回忆时，教师不要过多“插手”或“插话”，而是让学生赶紧说、写。这时目的只有一个：回忆相关的旧知识。例如，让学生回忆：我们学到了哪些“角落”？学生只要说出锐角、直角、直角……所有角度，无需询问它们的含义和区别，也无需担心这些角度的顺序。
回忆不仅是一个检索旧知识的过程，更是一个进一步强化记忆的过程，更是一个互相启发以获得联想结果的过程。
如果学生记忆不完整，可以由其他学生或老师补充，也可以暂时搁置，在“梳理”时完善。
3。梳理（约10分钟）
梳理就是将旧知识按照一定的标准进行分类。因此，梳理是审查的重点。梳理两个任务：一是连接知识点（求同），二是区分各个知识点（求异）。教师在备课时应做好充分的准备工作，否则会造成课堂混乱。梳理往往与板书联系在一起，将音视频融为一体，增强复习效果。根据评论内容的异同，通常使用以下内容：
1。一边梳一边在黑板上写字。即整理和黑板上写字是同时进行的。
2。先整理一下，然后写在黑板上。即教师和学生首先共同输出旧知识的异同，然后将其写在黑板上。
3。先在黑板上写，然后整理。这在低年级更适用。使用时，可将黑板挂起来，一边看黑板一边梳理。
整理过程本质上是一个对知识进行组织、系统化的思维过程。这个过程中使用的主要思维方法是“分类”，即按照一定的标准划分知识。例如，四边形根据其相对边之间的关系可以分为两类：有两组平行边的四边形（平行四边形）和只有一组平行边的四边形（梯形）。在小学，教学一般应根据学生实际学习的内容和他们所达到的思维水平来进行。没必要拘泥于完全的科学原理，让小学数学知识过于宏观。这是“学科数学”与“科学数学”的区别之一。与四边形一样，严格来说，两组对边不平行的不规则四边形应视为一类。小学数学不学，学生没必要“做无谓的事”。必须注意的是，我们的分类是对已经学过的知识进行分类，而不是对学生还没有学过的知识进行分类。事实上，分类标准本质上是人为的，更何况专家们还在争论一些分类。例如，三角形按边分类有两种情况：一是分为两大类——不等边三角形和等腰三角形。等边三角形是等腰三角形的特例；二是分为三类——不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。这取决于你如何定义“等腰三角形”。划分得更细好还是粗略好，取决于评论内容的多少。如果评审内容较多，则应大致划分，反之亦然。
4。交流（约10分钟）
交流是复习课的一大特色。由于新教学的主要目的是区分知识点、掌握单项知识的本质属性，因此与后续知识的联系一般很少或没有。复习课中，恰恰就是对所学知识的衔接和交流。这就是所谓的知识点概括。
沟通不同于知识之间的简单联系，而是知识本质上的整合。因此，交往既要在差异中求同，又要在相似中求异，这是知识结构向认知结构转化的重要环节。这就是我前面提到的。回忆阶段只追求“是什么”，但这里的“沟通”还需要追求“为什么”。例如，约简和一般除法的含义不同，但它们的本质和运算是相同的理论基础，即分数基本性质的体现。操作流程上也存在差异。对于约简，通常使用“同时缩小相同倍数”，而对于一般除法，通常使用“同时扩大相同倍数”。
交流时，学生可以提出问题，老师也可以提出问题让学生思考和回答，或者板书填空，根据具体操作情况而定。
交流的目的不仅仅是求同求异，更重要的是灵活运用知识解决数学问题，从而拓展学生的思维。
5。练习（约10分钟）
复习课中的练习与新讲座或练习课中的练习明显不同。新课的练习主要是为了巩固刚学过的新知识，所以练习由基础练习组成，占比70%左右，以知识为主；实践课的练习是把技能转化为能力，重点是数学能力。编队；复习课的练习侧重于将知识结构转化为认知结构，因此应提供全面的练习供学生练习。
值得一提的是，复习课的练习要集中在一起（划定一段时间），不能分散。这样不仅可以集中学生的注意力，还可以节省复习时间。